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日志

2013高考数学高频考点抢分练

热度 10已有 4936 次阅读2012-9-25 13:49 | 高考数学, 不等式

2013高考数学高频考点抢分练

——不等式

从近几年的高考试题来看,对不等式重点考查的有四种题型:解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想. 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展,近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题,尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难度主要以有以下几点:1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查,大多出现在选择题或填空题中,一般属于容易题或中档题。因此,关于这一部分的知识,重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型,特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系,通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现,尤其是以导数或向量为背景的导数(或向量)、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题,对不等式的知识,方法与技巧要求较高。

高频考点总结

考点一  不等式的概念和性质

1设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M[1,4],求实数a的取值范围 

解  M[1,4]有种情况  其一是M=,此时Δ<0;其二是M,此时Δ=0或Δ>0,分三种情况计算a的取值范围  

f(x)=x2 -2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2a-2)

(1)当Δ<0时,-1<a<2,M=[1,4]

(2)当Δ=0时,a=-1或2  当a=-1时M={-1}[1,4];当a=2时,m={2}[1,4]  

(3)当Δ>0时,a<-1或a>2  

设方程f(x)=0的两根x1x2,且x1x2

那么M=[x1x2],M[1,4]1≤x1x2≤4

,解得  2<aM[1,4]时,a的取值范围是(-1,

    对二次不等式进行分类讨论,三种情况下分别计算,主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合

2:不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为(    )

A B   C         D

【答案】A

【解析】因为对任意x恒成立,

所以

     不等式的恒成立问题我们一般利用函数的最值问题来解决,也可以采用分离参数的思想进行求解,有关参数的取值范围。

考点二算术平均数与几何平均数

3:设的最小值为

   A  8        B  4        C 1       D 

【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。

【解析】因为,所以

,当且仅当时“=”成立,故选择C

    对于均值不等式的运用,我们一般要关注不等式求最值时满足的三点:一正,二定,三相等。需要从题目中挖掘有关定值的等式,考虑求最值时的方法:不等式法,单调性法,导数法等等来进行。最值问题使我们高频试题,要注意积累常用的方法。

考点三 线性规划

4:已知实数xy满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_______.      

【答案】-9

【解析】画出满足不等式组的可行域如右图,目标函数化为:z,画直线及其平行线,当此直线经过点A时,-z的值最大,z的值最小,A点坐标为(3,6),所以,z的最小值为:32×6=-9

    对于线性规划问题主要是作图,然后画图虚实要分,准确利用平移进行求解有关的最值。该类试题也有逆向问题,含有参数问题的求解运用,需要灵活运用。

5:某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18.那么该企业可获得最大利润是

   A. 12万元           B. 20万元           C. 25万元          D. 27万元

【答案】D

【解析】设生产甲产品吨,生产乙产品吨,则有关系:

    A原料

    B原料

甲产品

     3

     2

  乙产品

     

     3

     则有:  目标函数[

   作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知:当35时可获得最大利润为27万元,故选D

     运用不等式解决现实生活中的最优解问题,比如材料最省,容积最大,面积最大,利润最大等等问题。抽象不等式,准确表示线性约束条件,然后结合图像求解。该类试题是高考中必考的知识点,我们要多加以练习。

考点四 实际应用

6某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

     本试题是创新题目,主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力,这也是高考的趋势,我们要主语创新能力的培养,数学建模思想的树立。

最新考场典型题热身

E1 不等式的概念与性质

5E1E6[2012·福建卷] 下列不等式一定成立的是(  )

Alg4(1)lgx(x0)

Bsinxsinx(1)2(xkπkZ)

Cx212|x|(xR)

D.x2+1(1)1(xR)

5C [解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用,解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件.对于A选项,当x2(1)时,lg4(1)lgx;所以A不一定正确;B命题,需要满足当sinx>0时,不等式成立,所以B也不正确;C命题显然正确;D命题不正确,x2110<x2+1(1)1,所以正确的是C.

21D1D3E1M3[2012·重庆卷] 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1,其中a20.

(1)求证:{an}是首项为1的等比数列;

(2)a2>-1,求证:Sn2(n)(a1an),并给出等号成立的充要条件.

21解:(1)证法一:由S2a2S1a1a1a2a2a1a1,即a2a2a1.

a20,故a11,得a1(a2)a2.

又由题设条件知

Sn2a2Sn1a1Sn1a2Sna1

两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)

an2a2an1

a20,知an10,因此an+1(an+2)a2.

综上,an(an+1)a2对所有nN*成立,从而{an}是首项为1,公比为a2的等比数列.

证法二:用数学归纳法证明ana2(n-1)nN*.

n1时,由S2a2S1a1,得a1a2a2a1a1,即a2a2a1,再由a20,得a11

所以结论成立.

假设nk时,结论成立,即aka2(k-1),那么

nk1时,ak1Sk1Sk(a2Ska1)(a2Sk1a1)a2(SkSk1)a2aka2(k)

这就是说,当nk1时,结论也成立.

综上可得,对任意nN*ana2(n-1).因此{an}是首项为1,公比为a2的等比数列.

(2)n12时,显然Sn2(n)(a1an),等号成立.

n3a2>-1a20,由(1)a11ana2(n-1),所以要证的不等式化为

1a2a2(2)a2(n-1)2(n)(1a2(n-1))(n3)

即证:1a2a2(2)a2(n)2(n+1)(1a2(n))(n2)

a21时,上面不等式的等号成立.

当-1a21时,a2(r)1a2(n-r)1(r1,2n1)同为负;

a21时,a2(r)1a2(n-r)1(r1,2n1)同为正.

因此当a2>-1a21时,总有(a2(r)1)(a2(n-r)1)0,即

a2(r)a2(n-r)1a2(n)(r1,2n1)

上面不等式对r1n1求和得

2(a2a2(2)a2(n-1))(n1)(1a2(n))

由此可得1a2a2(2)a2(n)2(n+1)(1a2(n))

综上,当a2>-1a20时,有Sn2(n)(a1an),当且仅当n1,2a21时等号成立.

证法二:当n12时,显然Sn2(n)(a1an),等号成立.当a21时,Snn2(n)(a1an),等号也成立.

a21时,由(1)Sn2()ana2(n-1),下证:

2()2(n)(1a2(n-1))(n3a2>-1a21)

当-1a21时,上面不等式化为

(n2)a2(n)na2na2(n-1)n2(n3)

f(a2)(n2)a2(n)na2na2(n-1).

当-1a20时,1a2(n-2)0,故

f(a2)(n2)a2(n)na2(1a2(n-2))(n2)|a2|nn2

即所要证的不等式成立.

0a21时,对a2求导得f(a2)n[(n2)a2(n-1)(n1)a2(n-2)1]ng(a2)

其中g(a2)(n2)a2(n-1)(n1)a2(n-2)1,则g(a2)(n2)(n1)(a21)a2(n-3)0,即g(a2)(0,1)上的减函数,故g(a2)>g(1)0,从而f(a2)ng(a2)>0,进而f(a2)(0,1)上的增函数,因此f(a2)f(1)n2,所要证的不等式成立.

a21时,令ba2(1),则0b1,由已知的结论知

a2(1)2(n)n-1(1)

两边同时乘以a2(n-1)得所要证的不等式.

综上,当a2>-1a20时,有Sn2(n)(a1an),当且仅当n1,2a21时等号成立.

9B11B12E1[2012·浙江卷] 设a>0b>0(  )

A.若2a2a2b3b,则a>b

B.若2a2a2b3b,则a<b

C.若2a2a2b3b,则a>b

D.若2a2a2b3b,则a<b

9A [解析本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否,考查观察、构想、推理的能力.若2a2a2b3b,必有2a2a>2b2b.构造函数:f(x)2x2x,则f(x)2x2xx0上单调递增,即ab成立,故A正确,B错误.其余选项用同样方法排除.

7D2E1[2012·浙江卷] 设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是(  )

A.若d<0,则数列{Sn}有最大项

B.若数列{Sn}有最大项,则d<0

C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意nN*,均有Sn>0

D.若对任意nN*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列

7C [解析本题考查等差数列的通项、前n项和,数列的函数性质以及不等式知识,考查灵活运用知识的能力,有一定的难度.

法一:特值验证排除.选项C显然是错的,举出反例:-10,1,2,3满足数列{S n}是递增数列,但是S n0不恒成立.

法二:由于Snna12(n(n-1))d2(d)n22(d)n,根据二次函数的图象与性质知当d<0时,数列{Sn}有最大项,即选项A正确;同理选项B也是正确的;而若数列{Sn}是递增数列,那么d>0,但对任意的nN*Sn>0不成立,即选项C错误;反之,选项D是正确的;故应选C.

[点评等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据.

12

E2  绝对值不等式的解法

13E2[2012·山东卷] 若不等式|kx4|2的解集为{x|1x3},则实数k________.

132 [解析] 本题考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,容易题.

去绝对值得-2kx42,即2kx6,又其解集为k2.

E3 一元二次不等式的解法

13E3[2012·江苏卷] 已知函数f(x)x2axb(abR)的值域为[0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(mm6),则实数c的值为________

139 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法.解题突破口为二次函数的性质及三个二次之间的关系.

由条件得a24b0,从而f(x)2(a)2

不等式f(x)<c解集为-2(a)<x<2(a)

=m+6,(a)两式相减得3c9.

11E2A1[2012·天津卷] 已知集合A{xR||x2|3},集合B{xR|(xm)(x2)0},且AB(1n),则m________n________.

11.-1,1 [解析] 本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算,考查运算求解能力,容易题.

A,且AB(1n)m=-1B

AB(1,1),即n1.

1A1E3[2012·浙江卷] 设集合A{x|1<x<4},集合B{x|x22x30},则A(RB)(  )

A(1,4)  B(3,4)

C(1,3)  D(1,2)(3,4)

1B [解析本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等.由于B{x|x22x30}{x|1x3},则RB{x|x<1x>3},那么A(RB){x|3<x<4}(3,4),故应选B.

[点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键.

14A2A3B3E3[2012·北京卷] 已知f(x)m(x2m)(xm3)g(x)2x2,若同时满足条件:

xRf(x)<0g(x)<0

x(,-4)f(x)g(x)<0.

m的取值范围是________

14(4,-2) [解析本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能.

满足条件时,由g(x)2x2<0,可得x<1,要使xRf(x)<0g(x)<0,必须使x1时,f(x)m(x2m)(xm3)<0恒成立,

m0时,f(x)m(x2m)(xm3)0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)0的两根2m,-m3都小于1,即-m-3<1,(2m<1,)可得m(4,0)

满足条件时,因为x(,-4)时,g(x)<0,所以要使x(,-4)时,f(x)g(x)<0,只要x0(,-4)时,使f(x0)>0即可,只要使-42m,-m3中较小的一个大即可,当m(1,0)时,2m>m3,只要-4>m3,解得m>1m(1,0)的交集为空集;

m=-1时,两根为-2;-2>4,不符合;当m(4,-1)时,2m<m3,所以只要-4>2m

所以m(4,-2)

综上可知m(4,-2)

2E3[2012·重庆卷] 不等式2x+1(x-1)0的解集为(  )

A.,1(1)  

B.,1(1)

C.2(1)[1,+)  

D.2(1)[1,+)

2A [解析] 不等式等价于2x+1≠0,((x-1)(2x+1)≤0,)解得-2(1)x1,选A.

16B11B12E3[2012·重庆卷] 设f(x)a ln x2x(1)2(3)x1,其中aR,曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线垂直于y轴.

(1)a的值;

(2)求函数f(x)的极值.

16解:(1)f(x)a ln x2x(1)2(3)x1

f(x)x(a)2x2(1)2(3).

由于曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f(1)0,从而a2(1)2(3)0,解得a=-1.

(2)(1)f(x)=-ln x2x(1)2(3)x1(x0)

f(x)=-x(1)2x2(1)2(3)

2x2(3x2-2x-1)

2x2((3x+1)(x-1)).

f(x)0,解得x11x2=-3(1)(x2=-3(1)不在定义域内,舍去)

x(0,1)时,f(x)0,故f(x)(0,1)上为减函数;

x(1,+)时,f(x)0,故f(x)(1,+)上为增函数.

f(x)x1处取得极小值f(1)3,无极大值.

E4  简单的一元高次不等式的解法

E5 简单的线性规划问题

14E5[2012·陕西卷] 设函数f(x)-2x-1,x≤0,(lnx,  x>0)D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则zx2yD上的最大值为________

142 [解析] 本小题主要考查了利用导数求切线方程、线性规划的知识,解题的突破口是先求出切线的方程,画出可行域.对于函数在x1的导数,可只对函数ylnx求导,有yx(1),所以在x1处的切线的斜率为k1,在x1处的切线方程为:yx1.此时可画出可行域.

当目标函数过点(0,-1)z取得最大值2.

5E5[2012·山东卷] 已知变量xy满足约束条件4x-y≥-1,(2x+y≤4,)则目标函数z3xy的取值范围是(  )

A.,6(3)  B.,-1(3)  

C[1,6]  D.2(3)  

5A [解析] 本题考查简单的线性规划问题,考查数据处理能力,容易题.

可行域如图所示阴影部分.

当目标函数线l移至可行域中的点A(2,0)时,目标函数有最大值z3×206;当目标函数线l移至可行域中的B,3(1)时,目标函数有最小值z3×2(1)3=-2(3).

10E5H4[2012·重庆卷] 设平面点集A(xy)  (yxyx(1)0B,则AB所表示的平面图形的面积为(  )

A.4(3)π  B.5(3)π

C.7(4)π  D.2(π)

10D [解析] 平面点集A表示的平面区域就是不等式组≥0(1)≤0(1)表示的两块平面区域,而平面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆及圆的内部,作出它们所示的平面区域,如图所示,图中的阴影部分就是AB所表示的平面图形.由于圆和曲线yx(1)关于直线yx对称,因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的2(1),即为2(π).

8E5[2012·辽宁卷] 设变量xy满足0≤y≤15,(0≤x+y≤20,)2x3y的最大值为(  )

A20  B35

C45  D55

8D [解析] 本小题主要考查线性规划.解题的突破口为作出可行域,借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

不等式组表示的区域如图11所示,令z2x3y,目标函数变为y=-3(2)x3(z),故而当截距越大,z的取值越大,故当直线z2x3y经过点A时,z最大,由于y=15(x+y=20,)y=15,(x=5)故而A的坐标为,代人z2x3y,得到zmax55,即2x3y的最大值为55.

11

13E5[2012·全国卷] 若xy满足约束条件x+3y-3≥0,(x+y-3≤0,)z3xy的最小值为________

13.-1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用,解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线.

利用不等式组,作出可行域,则目标函数直线过(0,1)时,z取最小值-1.

11E5[2012·安徽卷] 若xy满足约束条件2x+y≤3,(x+2y≥3,)xy的取值范围是________

11. [解析] 本题考查线性规划的应用.

zxy.作出约束条件2x+y≤3(x+2y≥3,)表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界)

易知当直线zxy经过点A(0,3)时,直线在y轴上截距最大,目标函数z取得最小值,且zmin=-3,当直线zxy经过点C(1,1)时,直线在y轴上截距最小,目标函数z取得最大值,即zmax0,所以xy[3,0]

2E5K3[2012·北京卷] 设不等式组0≤y≤2(0≤x≤2,)表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(  )

A.4(π)  B.2(π-2)  

C.6(π)  D.4(4-π)

2D [解析] 设事件A:点到坐标原点的距离大于2.

如图11P(A)S(S2)S(S-S1)4(4-π).

11

9E5[2012·四川卷] 某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗AB原料都不超过12千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是(  )

A1800元  B2400

C2800元  D3100

9C [解析设该公司每天生产甲产品x桶,乙产品y桶,

x∈N,y∈N,(2x+y≤12,) 

利润函数z300x400y

如图,在2x+y=12(x+2y=12,) 的交点(4,4)处取得最大值.

zmax300×4400×42800元.

9E5[2012·福建卷] 若函数y2x图象上存在点(xy)满足约束条件x≥m,(x-2y-3≤0,)则实数m的最大值为(  )

A.2(1)  B1  C.2(3)  D2

9B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示,

根据题意,显然当曲线y2x与直线y=-x3相交,交点的横坐标即为m的最大值,解方程组:y=-x+3,(y=2x,)解得x1y2,所以交点的横坐标为x1,所以当m1时,曲线y2x上存在点(xy)满足约束条件,所以m的最大值为1.

5E5[2012·广东卷] 已知变量xy满足约束条件x-y≤1,(x+y≥1,)z3xy的最大值为(  )

A12  B11  C3  D.-1

5B 

[解析] 作出可行域,如图所示.目标函数变形为:y=-3xz,平移目标函数线,显然当直线经过可行域中A点时,z最大,由x-y=1(y=2,) 得A(3,2),所以zmax3×3211.所以选择B.

8E5[2012·江西卷] 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:

年产量/

年种植成本/

每吨售价

黄瓜

4

1.2万元

0.55万元

韭菜

6

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为(  )

A50,0  B30,20  C20,30  D0,50

8B  [解析] 考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的实际应用、数形结合思想,以及阅读理解和数学建模能力;解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解,即设出 xyz列出约束条件,确定目标函数;画出可行域;判断最优解;求出目标函数的最值,并回到原问题中作答.设种植黄瓜x亩,种植韭菜y亩,因此,原问题转化为在条件x≥0,y≥0 下,求z0.55×4x0.3×6y1.2x0.9yx0.9y的最大值.画出可行域如图.利用线性规划知识可知,当xy1.2x+0.9y=54(x+y=50,)的交点(30,20)时,z取得最大值.故选B.

14E5[2012·课标全国卷] 设xy满足约束条件y≥0,(x≥0,)zx2y的取值范围为________

14[答案[3,3]

[解析作出不等式组y≥0(x≥0,) 表示的平面区域(如下图阴影部分所示,含边界),平移直线zx2y,可知当直线zx2y经过点M(1,2)时,zx2y取得最小值-3,经过点N(3,0)时,zx2y取得最大值3,所以z[3,3]

E6 基本不等式

5E1E6[2012·福建卷] 下列不等式一定成立的是(  )

Alg4(1)lgx(x0)

Bsinxsinx(1)2(xkπkZ)

Cx212|x|(xR)

D.x2+1(1)1(xR)

5C [解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用,解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件.对于A选项,当x2(1)时,lg4(1)lgx;所以A不一定正确;B命题,需要满足当sinx>0时,不等式成立,所以B也不正确;C命题显然正确;D命题不正确,x2110<x2+1(1)1,所以正确的是C.

15A2C8E6E9[2012·安徽卷] 设ABC的内角ABC所对边的长分别为abc,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)

ab>c2,则C<3(π)

ab>2c,则C<3(π)

a3b3c3,则C<2(π)

(ab)c<2ab,则C>2(π)

(a2b2)c2<2a2b2,则C>3(π).

15①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本不等式等.

对于,由c2a2b22abcosC<ab2cosC1>ab(a2+b2)a(b)b(a)2,则cosC>2(1),因为0<C,所以C<3(π),故正确;

对于,由4c24a24b28abcosC<a2b22abab>3

8cosC2>3a(b)6,则cosC>2(1),因为0<C,所以C<3(π),故正确;

对于a3b3c3可变为c(a)3c(b)31,可得0<c(a)<1,0<c(b)<1,所以1c(a)3c(b)3<c(a)2c(b)2,所以c2<a2b2,故C<2(π),故正确;

对于c<2ab可变为2×c(1)>a(1)b(1)ab(2),可得>c,所以ab>c2,因为a2b22ab>ab>c2,所以C<2(π)错误;

对于c2<2a2b2可变为a2(1)b2(1)<c2(2),即c2(1)>ab(1),所以c2<ab2(a2+b2),所以cosC>2()2(1),所以C<3(π),故错误.故答案为①②③.

E7  不等式的证明方法

E8 不等式的综合应用

14E8[2012·江苏卷] 已知正数abc满足:5c3ab4caclnbaclnc,则a(b)的取值范围是________

14[e,7] [解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用.解题突破口为将所给不等式条件同时除以c,三元换成两元.

题设条件可转化为(a)xc(a)yc(b),则x,y>0,(y≥ex,)且目标函数为zx(y),上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形.由方程组x+y=4,(3x+y=5,)得交点坐标为C2(7),此时zmax7.又过原点作曲线yex的切线,切点为(x0y0),因yex,故切线斜率kex0,切线方程为yex0x,而y0ex0y0ex0x0,解之得x01,故切线方程为yex,从而zmine,所求取值范围为[e,7]

21 B12B14 E8 [2012·广东卷] 设a<1,集合A{xR|x>0}B{xR|2x23(1a)x6a>0}DAB.

(1)求集合D(用区间表示)

(2)求函数f(x)2x33(1a)x26axD内的极值点.

21解:(1)xDx>02x23(1a)x6a>0.

h(x)2x23(1a)x6a

Δ9(1a)248a3(3a1)(a3)

3(1)<a<1时,Δ<0

xRh(x)>0BR.

于是DABA(0,+)

a3(1)时,Δ0,此时方程h(x)0有唯一解,

x1x24(3(1+a))3()1

B(1)(1,+)

于是DAB(0,1)(1,+)

a<3(1)时,Δ>0,此时方程h(x)0有两个不同的解

x14(3(3a-1)(a-3))

x24(3(3a-1)(a-3)).

x1<x2x2>0

B(x1)(x2,+)

x1>0a>0,所以

i)0<a<3(1)时,DAB(0x1)(x2,+)

ii)a0时,D(x2,+)

(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)

a<1时,f(x)R上的单调性如下表:

x

(a)

a

(a,1)

1

(1,+)

f(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值

3(1)<a<1时,D(0,+)

由表可得,xaf(x)D内的极大值点,x1f(x)D内的极小值点.

a3(1)时,D(0,1)(1,+)

由表可得,x3(1)f(x)D内的极大值点.

0<a<3(1)时,D(0x1)(x2,+)

x14(3(3a-1)(a-3))

4((3-5a)2-16a2)

4(1)[33a(35a)]2a>ax1<4(3+3a)<1

x24(3(3a-1)(a-3))

4((1-3a)2+(8-24a))

>4(3+3a+(1-3a))1

aD,1D.

由表可得,xaf(x)D内的极大值点.

a0时,D(x2,+)x2>1.

由表可得,f(x)D内单调递增.

因此f(x)D内没有极值点.

21B9B12E8[2012·陕西卷] 设函数fn(x)xnbxc(nNbcR)

(1)n2b1c=-1,证明:fn(x)在区间,1(1)内存在唯一零点;

(2)n2,若对任意x1x2[1,1],有|f2(x1)f2(x2)|4,求b的取值范围;

(3)(1)的条件下,设xnfn(x),1(1)内的零点,判断数列x2x3xn的增减性.

21解:(1)b1c=-1n2时,fn(x)xnx1.

fn2(1)fn(1)2(1)×1<0fn(x),1(1)内存在零点.

又当x,1(1)时,fn(x)nxn11>0

fn(x),1(1)上是单调递增的,fn(x),1(1)内存在唯一零点.

(2)n2时,f2(x)x2bxc.

对任意x1x2[1,1]都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)[1,1]上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下:

2(b)>1,即|b|>2时,

M|f2(1)f2(1)|2|b|>4,与题设矛盾.

当-12(b)<0,即0<b2时,

Mf2(1)f22(b)+1(b)24恒成立.

02(b)1,即-2b0时,

Mf2(1)f22(b)-1(b)24恒成立.

综上可知,-2b2.

注:也可合并证明如下:

max{ab}表示ab中的较大者.

当-12(b)1,即-2b2时,

Mmax{f2(1)f2(1)}f22(b)

2(f2(-1)+f2(1))2(|f2(-1)-f2(1)|)f22(b)

1c|b|+c (b2)

2(|b|)24恒成立.

(3)法一:设xnfn(x),1(1)内的唯一零点(n2)

fn(xn)xn(n)xn10fn1(xn1)xn+1(n+1)xn110xn1,1(1)

于是有fn(xn)0fn1(xn1)xn+1(n+1)xn11<xn+1(n)xn11fn(xn1)

又由(1)fn(x),1(1)上是递增的,故xn<xn1(n2),所以,数列x2x3xn是递增数列.

法二:设xnfn(x),1(1)内的唯一零点,

fn1(xn)fn1(1)(xn(n+1)xn1)(1n111)

xn(n+1)xn1<xn(n)xn10

fn1(x)的零点xn1(xn,1)内,故xn<xn1(n2)

所以,数列x2x3xn是递增数列.

E9  单元综合

17E9[2012·江苏卷] 如图15,建立平面直角坐标系xOyx轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1 km,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx20(1)(1k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2 km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

15

17解:(1)y0,得kx20(1)(1k2)x20,由实际意义和题设条件知x>0k>0

x1+k2(20k)k(1)2(20)10,当且仅当k1时取等号.

所以炮的最大射程为10 km.

(2)因为a>0,所以

炮弹可击中目标存在k>0,使3.2ka20(1)(1k2)a2成立

关于k的方程a2k220aka2640有正根

判别式Δ(20a)24a2(a264)0

a6.

所以当a不超过6 km时,可击中目标.

21H10E9[2012·四川卷] 如图17所示,动点M与两定点A(1,0)B(2,0)构成MAB,且MBA2MAB,设动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设直线y=-2xmy轴相交于点P,与轨迹C相交于点QR,且|PQ||PR|,求|PQ|(|PR|)的取值范围.

17

21解:(1)M的坐标为(xy),显然有x>0,且y0.

MBA90°时,点M的坐标为(2±3)

MBA90°时,x2,由MBA2MAB,有

tanMBA1-tan2∠MAB(2tan∠MAB)

即-x-2(|y|)2(|y|).

化简可得,3x2y230.

而点(2±3)在曲线3x2y230上,

综上可知,轨迹C的方程为3x2y230(x>1)

(2)3x2-y2-3=0(y=-2x+m,)消去y,可得

x24mxm230.(*)

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设f(x)x24mxm23.

所以Δ=(-4m)2-4(m2+3)>0.(f(1)=12-4m+m2+3>0,)

解得,m>1,且m2.

QR的坐标分别为(xQyQ)(xRyR),由|PQ|<|PR|xR2mxQ2m.

所以|PQ|(|PR|)xQ(xR)3(m2-1)(3(m2-1))m2(1)=-1m2(1).

m>1,且m2,有

1<1m2(1)<74,且-1m2(1)7.

所以|PQ|(|PR|)的取值范围是(1,7)(7,74)

16D5E9[2012·四川卷] 记[x]为不超过实数x的最大整数,例如,[2]2[1.5]1[0.3]=-1.a为正整数,数列{xn}满足x1axn1xn()(nN*).现有下列命题:

a5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,2

对数列{xn}都存在正整数k,当nk时总有xnxk

n1时,xn1

对某个正整数k,若xk1xk,则xk[]

其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)

16①③④ [解析对于x1a5x22(5+1)3x33()2(3+1)2正确;

对于,取a3,则x13x23()2(3+1)2

x32()2(2+1)1x41()2(1+3)2.

由此可知,n2时,该数列所有奇数项等于1,所有偶数项等于2,故错误;

对于,由[x]的定义知[x]x1,而a是正整数,故xn0,且xn是整数,

n1时,x1a>1,命题为真,

于是,xn1xn(),由于xnxn(a)都是整数,

xn1xn()xn()2(1)>2(-1)2(1)xn()11

正确;

对于,当xk1xk时,得xk()xk,从而xk()xk0

xk(a)xk0xk(a)xkxk(a)xk0,即xk(a)xk0,解得xk

结合得:1xk,故xk正确.

15A2C8E6E9[2012·安徽卷] 设ABC的内角ABC所对边的长分别为abc,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)

ab>c2,则C<3(π)

ab>2c,则C<3(π)

a3b3c3,则C<2(π)

(ab)c<2ab,则C>2(π)

(a2b2)c2<2a2b2,则C>3(π).

15①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本不等式等.

对于,由c2a2b22abcosC<ab2cosC1>ab(a2+b2)a(b)b(a)2,则cosC>2(1),因为0<C,所以C<3(π),故正确;

对于,由4c24a24b28abcosC<a2b22abab>3

8cosC2>3a(b)6,则cosC>2(1),因为0<C,所以C<3(π),故正确;

对于a3b3c3可变为c(a)3c(b)31,可得0<c(a)<1,0<c(b)<1,所以1c(a)3c(b)3<c(a)2c(b)2,所以c2<a2b2,故C<2(π),故正确;

对于c<2ab可变为2×c(1)>a(1)b(1)ab(2),可得>c,所以ab>c2,因为a2b22ab>ab>c2,所以C<2(π)错误;

对于c2<2a2b2可变为a2(1)b2(1)<c2(2),即c2(1)>ab(1),所以c2<ab2(a2+b2),所以cosC>2()2(1),所以C<3(π),故错误.故答案为①②③.

22B14E9J3D5[2012·四川卷] 已知a为正实数,n为自然数,抛物线y=-x22(a n)x轴正半轴相交于点A.f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.

(1)an表示f(n)

(2)求对所有n都有f(n)+1(f(n)-1)n3+1(n3)成立的a的最小值;

(3)0a1时,比较 (n)f(k)-f(2k)(1)4(27)·f(0)-f(1)(f(1)-f(n))的大小,并说明理由.

22解:(1)由已知得,交点A的坐标为,0(an),对y=-x22(1)an求导得y=-2x,则抛物线在点A处的切线方程为y=-2(an),即y=-xan,则f(n)an.

(2)(1)f(n)an,则f(n)+1(f(n)-1)n3+1(n3)成立的充要条件是an2n31.

即知,an2n31对所有n成立,特别地,取n2得到a.

an3时,

an>4n(13)n1Cn(1)·3Cn(2)·32Cn(3)·33

1Cn(1)·3Cn(2)·32Cn(3)·33

12n32(1)n[5(n2)2(2n5)]

>2n31.

n0,1,2显然()n2n31.

af(n)+1(f(n)-1)n3+1(n3)对所有自然数n都成立

所以满足条件的a的最小值为.

(3)(1)f(k)ak (n)f(k)-f(2k)(1) (n)ak-a2k(1)f(0)-f(1)(f(1)-f(n))1-a(a-an).

下面证明 (n)f(k)-f(2k)(1)>4(27)·f(0)-f(1)(f(1)-f(n)).

首先证明:当0<x<1时,x-x2(1)4(27)x.

设函数g(x)4(27)x(x2x)1,0<x<1.

g(x)4(81)x(x3(2))

0<x<3(2)时,g(x)<0;当3(2)<x<1时,g(x)>0.

g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)g3(2)0.

所以,当0<x<1时,g(x)0,即得x-x2(1)4(27)x,由0<a<10<ak<1(kN*),因此ak-a2k(1)4(27)ak,从而

(n)f(k)-f(2k)(1) (n)ak-a2k(1)

4(27)a(n)k

4(27)·1-a(a-an+1)

>4(27)·1-a(a-an)

4(27)·f(0)-f(1)(f(1)-f(n)).

2012模拟题

1[2012·漳州联考0<x<y<1,则下列不等式正确的是(  )

A3y<3x             Blogx3<logy3

Clog4x<log4y        D.4(1)x<4(1)y

1.C [解析函数y3xR上的增函数,0<x<y<1,故3y>3xA错误;

函数logx3log3x(1)logy3log3y(1)f(x)log3x(1)(0)上的减函数,0<x<y<1,故log3x(1)>log3y(1)logx3>logy3B错误;

函数ylog4x(0,+)上的增函数,0<x<y<1,故log4y>log4xC正确;函数y4(1)xR上的减函数,0<x<y<1,故4(1)x>4(1)yD错误.

2[2012·辽宁省部分重点中学联考设函数f(x)x21,对任意x4(3)fm(x)4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是________

2.2(3),+∞(3) [解析] 依据题意得m2(x2)14m2(x21)(x1)214(m21)x4(3)上恒成立,

m2(1)4m2x2(3)x(2)14(3)上恒成立.

g(x)=-x2(3)x(2)1g(x)4(3)上为减函数,

x=-4(3)时,函数g(x)=-x2(3)x(2)1取得最小值-3(5),所以m2(1)4m23(5),即(3m21)(4m23)0

解得m2(3)m2(3)

故实数m的取值范围为2(3),+∞(3).

3[2012·浙江重点中学联考定义max{ab}b,a<b,(a,a≥b,)设实数xy满足约束条件|y|≤2,(|x|≤2,)zmax{4xy,3xy},则z的取值范围是(  )

A[7,10]            B[6,8]

C[6,10]            D[7,8]

3A [解析本题主要考查函数的定义和线性规划基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.

zmax{4xy,3xy}3x-y,x+2y<0,(4x+y,x+2y≥0,)所以由|y|≤2(|x|≤2,)z4xy[7,10];由|y|≤2(|x|≤2,)z3xy(7,8],则z的取值范围是[7,10]

4[2012·浙江重点中学联考abpcxy,若对任意的正实数xy,都存在以abc为三边长的三角形,则实数p的取值范围是________

4(1,3) [解析] 本题主要考查基本不等式的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.

因为a<c,所以只要

a+c>b(a+b>c,)xy(xy>x+y,)恒成立,即

>p(+(x+y))恒成立,解得p(1,3)

5[2012·郑州一中模拟已知不等式(xy)y(a)9对任意xy为正实数恒成立,则正数a的最小值为________

54 [解析] 展开后,利用基本不等式,而后解不等式可求a值.

(xy)y(a)1y(ax)x(y)aa12(a>0)要使原不等式恒成立,则只需a129,即(2)(4)0,故2,即a4正数a的最小值是4.


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