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2013高考数学高频考点抢分练
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2013高考数学高频考点抢分练
——不等式
从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想． 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。
高频考点总结
考点一 不等式的概念和性质
例1设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M
［1，4］，求实数a的取值范围
解 M
［1，4］有两种情况 其一是M=
，此时Δ＜0；其二是M≠
，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=
［1，4］
(2)当Δ=0时，a=－1或2 当a=－1时M={－1}
［1，4］；当a=2时，m={2}
［1，4］
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M
［1，4］
1≤x1＜x2≤4
即
，解得 2＜a＜
，∴M
［1，4］时，a的取值范围是(－1，
)
对二次不等式进行分类讨论，三种情况下分别计算，主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合
例2：不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
对任意x恒成立，
所以
不等式的恒成立问题我们一般利用函数的最值问题来解决，也可以采用分离参数的思想进行求解，有关参数的取值范围。
考点二算术平均数与几何平均数
例3：设
若
的最小值为
A 8 B 4 C 1 D 
【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。
【解析】因为
，所以
，
，当且仅当
即
时“=”成立，故选择C
对于均值不等式的运用，我们一般要关注不等式求最值时满足的三点：一正，二定，三相等。需要从题目中挖掘有关定值的等式，考虑求最值时的方法：不等式法，单调性法，导数法等等来进行。最值问题使我们高频试题，要注意积累常用的方法。
考点三 线性规划
例4：已知实数x、y满足
则目标函数z=x-2y的最小值是_______.
【答案】－9
【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：
－z，画直线
及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。
对于线性规划问题主要是作图，然后画图虚实要分，准确利用平移进行求解有关的最值。该类试题也有逆向问题，含有参数问题的求解运用，需要灵活运用。
例5：某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
【答案】D
【解析】设生产甲产品
吨，生产乙产品
吨，则有关系：
|
|
A原料 |
B原料 |
|
甲产品 |
3 |
2 |
|
乙产品 |
|
3 |
则有：
目标函数
[
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当
＝3，
＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
运用不等式解决现实生活中的最优解问题，比如材料最省，容积最大，面积最大，利润最大等等问题。抽象不等式，准确表示线性约束条件，然后结合图像求解。该类试题是高考中必考的知识点，我们要多加以练习。
考点四 实际应用
例6：某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.
本试题是创新题目，主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力，这也是高考的趋势，我们要主语创新能力的培养，数学建模思想的树立。
最新考场典型题热身
E1 不等式的概念与性质
5．E1、E6[2012·福建卷] 下列不等式一定成立的是( )
A．lg4(1)＞lgx(x＞0)
B．sinx＋sinx(1)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.x2＋1(1)＞1(x∈R)
5．C [解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A选项，当x＝2(1)时，lg4(1)＝lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<x2＋1(1)≤1，所以正确的是C.
21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷] 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；
(2)若a2＞－1，求证：Sn≤2(n)(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．
21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.
因a2≠0，故a1＝1，得a1(a2)＝a2.
又由题设条件知
Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，
两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，
即an＋2＝a2an＋1，
由a2≠0，知an＋1≠0，因此an＋1(an＋2)＝a2.
综上，an(an＋1)＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
证法二：用数学归纳法证明an＝a2(n－1)，n∈N*.
当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，
所以结论成立．
假设n＝k时，结论成立，即ak＝a2(k－1)，那么
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝a2(k)，
这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
综上可得，对任意n∈N*，an＝a2(n－1).因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
(2)当n＝1或2时，显然Sn＝2(n)(a1＋an)，等号成立．
设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，an＝a2(n－1)，所以要证的不等式化为
1＋a2＋a2(2)＋…＋a2(n－1)≤2(n)(1＋a2(n－1))(n≥3)，
即证：1＋a2＋a2(2)＋…＋a2(n)≤2(n＋1)(1＋a2(n))(n≥2)．
当a2＝1时，上面不等式的等号成立．
当－1＜a2＜1时，a2(r)－1与a2(n－r)－1(r＝1,2，…，n－1)同为负；
当a2＞1时，a2(r)－1与a2(n－r)－1(r＝1,2，…，n－1)同为正．
因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(a2(r)－1)(a2(n－r)－1)＞0，即
a2(r)＋a2(n－r)＜1＋a2(n)(r＝1,2，…，n－1)．
上面不等式对r从1到n－1求和得
2(a2＋a2(2)＋…＋a2(n－1))＜(n－1)(1＋a2(n))，
由此可得1＋a2＋a2(2)＋…＋a2(n)＜2(n＋1)(1＋a2(n))．
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤2(n)(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
证法二：当n＝1或2时，显然Sn≤2(n)(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝2(n)(a1＋an)，等号也成立．
当a2≠1时，由(1)知Sn＝2()，an＝a2(n－1)，下证：
2()＜2(n)(1＋a2(n－1))(n≥3，a2＞－1且a2≠1)．
当－1＜a2＜1时，上面不等式化为
(n－2)a2(n)＋na2－na2(n－1)＜n－2(n≥3)．
令f(a2)＝(n－2)a2(n)＋na2－na2(n－1).
当－1＜a2＜0时，1－a2(n－2)＞0，故
f(a2)＝(n－2)a2(n)＋na2(1－a2(n－2))＜(n－2)|a2|n＜n－2，
即所要证的不等式成立．
当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n[(n－2)a2(n－1)－(n－1)a2(n－2)＋1]＝ng(a2)．
其中g(a2)＝(n－2)a2(n－1)－(n－1)a2(n－2)＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)a2(n－3)＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．
当a2＞1时，令b＝a2(1)，则0＜b＜1，由已知的结论知
a2(1)＜2(n)n－1(1)，
两边同时乘以a2(n－1)得所要证的不等式．
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤2(n)(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
9．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a>0，b>0( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a<b
9．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，故A正确，B错误．其余选项用同样方法排除．
7．D2、E1[2012·浙江卷] 设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
7．C [解析] 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．
法一：特值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不恒成立．
法二：由于Sn＝na1＋2(n(n－1))d＝2(d)n2＋2(d)n，根据二次函数的图象与性质知当d<0时，数列{Sn}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{Sn}是递增数列，那么d>0，但对任意的n∈N*，Sn>0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.
[点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．
图1－2
E2 绝对值不等式的解法
13．E2[2012·山东卷] 若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
13．2 [解析] 本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题．
去绝对值得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又∵其解集为，∴k＝2.
E3 一元二次不等式的解法
13．E3[2012·江苏卷] 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
13．9 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．
由条件得a2－4b＝0，从而f(x)＝2(a)2，
不等式f(x)<c解集为－2(a)－<x<－2(a)＋，
故＝m＋6，(a)两式相减得＝3，c＝9.
11．E2、A1[2012·天津卷] 已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
11．－1,1 [解析] 本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能力，容易题．
∵A＝，且A∩B＝(－1，n)，∴m＝－1，B＝，
∴A∩B＝(－1,1)，即n＝1.
1．A1、E3[2012·浙江卷] 设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
1．B [解析] 本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等．由于B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，则∁RB＝{x|x<－1或x>3}，那么A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}＝(3,4)，故应选B.
[点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键．
14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是________．
14．(－4，－2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能．
满足条件①时，由g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即－m－3<1，(2m<1，)可得m∈(－4,0)．
满足条件②时，因为x∈(－∞，－4)时，g(x)<0，所以要使∃x∈(－∞，－4)时，f(x)g(x)<0，只要∃x0∈(－∞，－4)时，使f(x0)>0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；
当m＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所以只要－4>2m，
所以m∈(－4，－2)．
综上可知m∈(－4，－2)．
2．E3[2012·重庆卷] 不等式2x＋1(x－1)≤0的解集为( )
A.，1(1)
B.，1(1)
C.2(1)∪[1，＋∞)
D.2(1)∪[1，＋∞)
2．A [解析] 不等式等价于2x＋1≠0，((x－1)(2x＋1)≤0，)解得－2(1)＜x≤1，选A.
16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f(x)＝a ln x＋2x(1)＋2(3)x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
16．解：(1)因f(x)＝a ln x＋2x(1)＋2(3)x＋1，
故f′(x)＝x(a)－2x2(1)＋2(3).
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－2(1)＋2(3)＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋2x(1)＋2(3)x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－x(1)－2x2(1)＋2(3)
＝2x2(3x2－2x－1)
＝2x2((3x＋1)(x－1)).
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－3(1)(因x2＝－3(1)不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
E4 简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
14．E5[2012·陕西卷] 设函数f(x)＝－2x－1，x≤0，(lnx， x>0)D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
14．2 [解析] 本小题主要考查了利用导数求切线方程、线性规划的知识，解题的突破口是先求出切线的方程，画出可行域．对于函数在x＝1的导数，可只对函数y＝lnx求导，有y′＝x(1)，所以在x＝1处的切线的斜率为k＝1，在x＝1处的切线方程为：y＝x－1.此时可画出可行域．
当目标函数过点(0，－1)时z取得最大值2.
5．E5[2012·山东卷] 已知变量x，y满足约束条件4x－y≥－1，(2x＋y≤4，)则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A.，6(3) B.，－1(3)
C．[－1,6] D.2(3)
5．A [解析] 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题．
可行域如图所示阴影部分．
当目标函数线l移至可行域中的点A(2,0)时，目标函数有最大值z＝3×2－0＝6；当目标函数线l移至可行域中的B点，3(1)时，目标函数有最小值z＝3×2(1)－3＝－2(3).
10．E5、H4[2012·重庆卷] 设平面点集A＝(x，y) (y－x)·y－x(1)≥0，B＝，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.4(3)π B.5(3)π
C.7(4)π D.2(π)
10．D [解析] 平面点集A表示的平面区域就是不等式组≥0(1)与≤0(1)表示的两块平面区域，而平面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形．由于圆和曲线y＝x(1)关于直线y＝x对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的2(1)，即为2(π).
8．E5[2012·辽宁卷] 设变量x，y满足0≤y≤15，(0≤x＋y≤20，)则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35
C．45 D．55
8．D [解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
不等式组表示的区域如图1－1所示，令z＝2x＋3y，目标函数变为y＝－3(2)x＋3(z)，故而当截距越大，z的取值越大，故当直线z＝2x＋3y经过点A时，z最大，由于y＝15(x＋y＝20，)⇒y＝15，(x＝5)故而A的坐标为，代人z＝2x＋3y，得到zmax＝55，即2x＋3y的最大值为55.
图1－1
13．E5[2012·全国卷] 若x，y满足约束条件x＋3y－3≥0，(x＋y－3≤0，)则z＝3x－y的最小值为________．
13．－1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．
利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.
11．E5[2012·安徽卷] 若x，y满足约束条件2x＋y≤3，(x＋2y≥3，)则x－y的取值范围是________．
11. [解析] 本题考查线性规划的应用．
设z＝x－y.作出约束条件2x＋y≤3(x＋2y≥3，)表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．
易知当直线z＝x－y经过点A(0,3)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最小值，且zmin＝－3，当直线z＝x－y经过点C(1,1)时，直线在y轴上截距最小，目标函数z取得最大值，即zmax＝0，所以x－y∈[－3,0]．
2．E5、K3[2012·北京卷] 设不等式组0≤y≤2(0≤x≤2，)表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.4(π) B.2(π－2)
C.6(π) D.4(4－π)
2．D [解析] 设事件A：点到坐标原点的距离大于2.
如图1－1，P(A)＝S(S2)＝S(S－S1)＝4(4－π).
图1－1
9．E5[2012·四川卷] 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1800元 B．2400元
C．2800元 D．3100元
9．C [解析] 设该公司每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，
则x∈N，y∈N，(2x＋y≤12，)
利润函数z＝300x＋400y，
如图，在2x＋y＝12(x＋2y＝12，) 的交点(4,4)处取得最大值．
zmax＝300×4＋400×4＝2800元．
9．E5[2012·福建卷] 若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x≥m，(x－2y－3≤0，)则实数m的最大值为( )
A.2(1) B．1 C.2(3) D．2
9．B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示，
根据题意，显然当曲线y＝2x与直线y＝－x＋3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：y＝－x＋3，(y＝2x，)解得x＝1，y＝2，所以交点的横坐标为x＝1，所以当m≤1时，曲线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.
5．E5[2012·广东卷] 已知变量x，y满足约束条件x－y≤1，(x＋y≥1，)则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11 C．3 D．－1
5．B 
[解析] 作出可行域，如图所示．目标函数变形为：y＝－3x＋z，平移目标函数线，显然当直线经过可行域中A点时，z最大，由x－y＝1(y＝2，) 得A(3,2)，所以zmax＝3×3＋2＝11.所以选择B.
8．E5[2012·江西卷] 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
|
|
年产量/亩 |
年种植成本/亩 |
每吨售价 |
|
黄瓜 |
4吨 |
1.2万元 |
0.55万元 |
|
韭菜 |
6吨 |
0.9万元 |
0.3万元 |
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
8．B [解析] 考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的实际应用、数形结合思想，以及阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即①设出 x、y、z；②列出约束条件，确定目标函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最值，并回到原问题中作答．设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件x≥0，y≥0 下，求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y取1.2x＋0.9y＝54(x＋y＝50，)的交点(30,20)时，z取得最大值．故选B.
14．E5[2012·课标全国卷] 设x，y满足约束条件y≥0，(x≥0，)则z＝x－2y的取值范围为________．
14．[答案] [－3,3]
[解析] 作出不等式组y≥0(x≥0，) 表示的平面区域(如下图阴影部分所示，含边界)，平移直线z＝x－2y，可知当直线z＝x－2y经过点M(1,2)时，z＝x－2y取得最小值－3，经过点N(3,0)时，z＝x－2y取得最大值3，所以z∈[－3,3]．
E6 基本不等式
5．E1、E6[2012·福建卷] 下列不等式一定成立的是( )
A．lg4(1)＞lgx(x＞0)
B．sinx＋sinx(1)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.x2＋1(1)＞1(x∈R)
5．C [解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A选项，当x＝2(1)时，lg4(1)＝lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<x2＋1(1)≤1，所以正确的是C.
15．A2、C8、E6、E9[2012·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<3(π)；
②若a＋b>2c，则C<3(π)；
③若a3＋b3＝c3，则C<2(π)；
④若(a＋b)c<2ab，则C>2(π)；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>3(π).
15．①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得2cosC＋1>ab(a2＋b2)＝a(b)＋b(a)≥2，则cosC>2(1)，因为0<C<π，所以C<3(π)，故①正确；
对于②，由4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2ab得ab>3即
8cosC＋2>3a(b)≥6，则cosC>2(1)，因为0<C<π，所以C<3(π)，故②正确；
对于③，a3＋b3＝c3可变为c(a)3＋c(b)3＝1，可得0<c(a)<1,0<c(b)<1，所以1＝c(a)3＋c(b)3<c(a)2＋c(b)2，所以c2<a2＋b2，故C<2(π)，故③正确；
对于④，c<2ab可变为2×c(1)>a(1)＋b(1)≥ab(2)，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<2(π)，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为a2(1)＋b2(1)<c2(2)，即c2(1)>ab(1)，所以c2<ab≤2(a2＋b2)，所以cosC>2()≥2(1)，所以C<3(π)，故⑤错误．故答案为①②③.
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用
14．E8[2012·江苏卷] 已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则a(b)的取值范围是________．
14．[e,7] [解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元．
题设条件可转化为，(a)记x＝c(a)，y＝c(b)，则x，y>0，(y≥ex，)且目标函数为z＝x(y)，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组x＋y＝4，(3x＋y＝5，)得交点坐标为C2(7)，此时zmax＝7.又过原点作曲线y＝ex的切线，切点为(x0，y0)，因y′＝ex，故切线斜率k＝ex0，切线方程为y＝ex0x，而y0＝ex0且y0＝ex0x0，解之得x0＝1，故切线方程为y＝ex，从而zmin＝e，所求取值范围为[e,7]．
21． B12、B14 、E8 [2012·广东卷] 设a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
21．解：(1)x∈D⇔x>0且2x2－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝3(3a－1)(a－3)．
①当3(1)<a<1时，Δ<0，
∴∀x∈R，h(x)>0，∴B＝R.
于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．
②当a＝3(1)时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解，
x1＝x2＝4(3(1＋a))＝3()＝1，
∴B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③当a<3(1)时，Δ>0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解
x1＝4(3(3a－1)(a－3))，
x2＝4(3(3a－1)(a－3)).
∵x1<x2且x2>0，
∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
又∵x1>0⇔a>0，所以
i)当0<a<3(1)时，D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)；
ii)当a≤0时，D＝(x2，＋∞)．
(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
当a<1时，f(x)在R上的单调性如下表：
|
x |
(－∞，a) |
a |
(a,1) |
1 |
(1，＋∞) |
|
f′(x) |
＋ |
0 |
－ |
0 |
＋ |
|
f(x) |
|
极大值 |
|
极小值 |
|
①当3(1)<a<1时，D＝(0，＋∞)．
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点，x＝1为f(x)在D内的极小值点．
②当a＝3(1)时，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．
由表可得，x＝3(1)为f(x)在D内的极大值点．
③当0<a<3(1)时，D＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．
∵x1＝4(3(3a－1)(a－3))
＝4((3－5a)2－16a2)
≥4(1)[3＋3a－(3－5a)]＝2a>a且x1<4(3＋3a)<1，
x2＝4(3(3a－1)(a－3))
＝4((1－3a)2＋(8－24a))
>4(3＋3a＋(1－3a))＝1，
∴a∈D,1∉D.
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．
④当a≤0时，D＝(x2，＋∞)且x2>1.
由表可得，f(x)在D内单调递增．
因此f(x)在D内没有极值点．
21．B9、B12、E8[2012·陕西卷] 设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间，1(1)内存在唯一零点；
(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；
(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在，1(1)内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．
21．解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.
∵fn2(1)fn(1)＝2(1)×1<0，∴fn(x)在，1(1)内存在零点．
又当x∈，1(1)时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，
∵fn(x)在，1(1)上是单调递增的，∴fn(x)在，1(1)内存在唯一零点．
(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：
①当2(b)>1，即|b|>2时，
M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．
②当－1≤－2(b)<0，即0<b≤2时，
M＝f2(1)－f22(b)＝＋1(b)2≤4恒成立．
③当0≤－2(b)≤1，即－2≤b≤0时，
M＝f2(－1)－f22(b)＝－1(b)2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者．
当－1≤－2(b)≤1，即－2≤b≤2时，
M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f22(b)
＝2(f2(－1)＋f2(1))＋2(|f2(－1)－f2(1)|)－f22(b)
＝1＋c＋|b|－＋c (b2)
＝2(|b|)2≤4恒成立．
(3)法一：设xn是fn(x)在，1(1)内的唯一零点(n≥2)．
fn(xn)＝xn(n)＋xn－1＝0，fn＋1(xn＋1)＝xn＋1(n＋1)＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈，1(1)，
于是有fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)＝xn＋1(n＋1)＋xn＋1－1<xn＋1(n)＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)，
又由(1)知fn(x)在，1(1)上是递增的，故xn<xn＋1(n≥2)，所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．
法二：设xn是fn(x)在，1(1)内的唯一零点，
fn＋1(xn)fn＋1(1)＝(xn(n＋1)＋xn－1)(1n＋1＋1－1)
＝xn(n＋1)＋xn－1<xn(n)＋xn－1＝0，
则fn＋1(x)的零点xn＋1在(xn,1)内，故xn<xn＋1(n≥2)，
所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．
E9 单元综合
17．E9[2012·江苏卷] 如图1－5，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－20(1)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
图1－5
17．解：(1)令y＝0，得kx－20(1)(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝1＋k2(20k)＝k(1)≤2(20)＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10 km.
(2)因为a>0，所以
炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－20(1)(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6 km时，可击中目标．
21．H10、E9[2012·四川卷] 如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求|PQ|(|PR|)的取值范围．
图1－7
21．解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y≠0.
当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有
tan∠MBA＝1－tan2∠MAB(2tan∠MAB)，
即－x－2(|y|)＝2(|y|).
化简可得，3x2－y2－3＝0.
而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，
综上可知，轨迹C的方程为3x2－y2－3＝0(x>1)．
(2)由3x2－y2－3＝0(y＝－2x＋m，)消去y，可得
x2－4mx＋m2＋3＝0.(*)
由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内，设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3.
所以Δ＝(－4m)2－4(m2＋3)>0.(f(1)＝12－4m＋m2＋3>0，)
解得，m>1，且m≠2.
设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|<|PR|有xR＝2m＋，xQ＝2m－.
所以|PQ|(|PR|)＝xQ(xR)＝3(m2－1)(3(m2－1))＝m2(1)＝－1＋m2(1).
由m>1，且m≠2，有
1<－1＋m2(1)<7＋4，且－1＋m2(1)≠7.
所以|PQ|(|PR|)的取值范围是(1,7)∪(7,7＋4)．
16．D5、E9[2012·四川卷] 记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝xn()(n∈N*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；
③当n≥1时，xn＞－1；
④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
16．①③④ [解析] 对于①，x1＝a＝5，x2＝2(5＋1)＝3，x3＝3()＝2(3＋1)＝2，①正确；
对于②，取a＝3，则x1＝3，x2＝3()＝2(3＋1)＝2，
x3＝2()＝2(2＋1)＝1，x4＝1()＝2(1＋3)＝2.
由此可知，n≥2时，该数列所有奇数项等于1，所有偶数项等于2，故②错误；
对于③，由[x]的定义知[x]＞x－1，而a是正整数，故xn≥0，且xn是整数，
又n＝1时，x1＝a≥>－1，命题为真，
于是，xn＋1＝xn()，由于xn和xn(a)都是整数，
故xn＋1＝xn()≥xn()－2(1)>2(－1)－2(1)≥xn()－1＝－1，
③正确；
对于④，当xk＋1≥xk时，得xk()≥xk，从而xk()－xk≥0，
即xk(a)－xk≥0，∴xk(a)－xk≥xk(a)－xk≥0，即xk(a)－xk≥0，解得xk≤，
结合③得：－1＜xk≤，故xk＝. ④正确．
15．A2、C8、E6、E9[2012·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<3(π)；
②若a＋b>2c，则C<3(π)；
③若a3＋b3＝c3，则C<2(π)；
④若(a＋b)c<2ab，则C>2(π)；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>3(π).
15．①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得2cosC＋1>ab(a2＋b2)＝a(b)＋b(a)≥2，则cosC>2(1)，因为0<C<π，所以C<3(π)，故①正确；
对于②，由4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2ab得ab>3即
8cosC＋2>3a(b)≥6，则cosC>2(1)，因为0<C<π，所以C<3(π)，故②正确；
对于③，a3＋b3＝c3可变为c(a)3＋c(b)3＝1，可得0<c(a)<1,0<c(b)<1，所以1＝c(a)3＋c(b)3<c(a)2＋c(b)2，所以c2<a2＋b2，故C<2(π)，故③正确；
对于④，c<2ab可变为2×c(1)>a(1)＋b(1)≥ab(2)，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<2(π)，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为a2(1)＋b2(1)<c2(2)，即c2(1)>ab(1)，所以c2<ab≤2(a2＋b2)，所以cosC>2()≥2(1)，所以C<3(π)，故⑤错误．故答案为①②③.
22．B14、E9、J3、D5[2012·四川卷] 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋2(a n)与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有f(n)＋1(f(n)－1)≥n3＋1(n3)成立的a的最小值；
(3)当0＜a＜1时，比较 (n)f(k)－f(2k)(1)与4(27)·f(0)－f(1)(f(1)－f(n))的大小，并说明理由．
22．解：(1)由已知得，交点A的坐标为，0(an)，对y＝－x2＋2(1)an求导得y′＝－2x，则抛物线在点A处的切线方程为y＝－2(an)，即y＝－x＋an，则f(n)＝an.
(2)由(1)知f(n)＝an，则f(n)＋1(f(n)－1)≥n3＋1(n3)成立的充要条件是an≥2n3＋1.
即知，an≥2n3＋1对所有n成立，特别地，取n＝2得到a≥.
当a＝，n≥3时，
an>4n＝(1＋3)n＝1＋Cn(1)·3＋Cn(2)·32＋Cn(3)·33＋…
≥1＋Cn(1)·3＋Cn(2)·32＋Cn(3)·33
＝1＋2n3＋2(1)n[5(n－2)2＋(2n－5)]
>2n3＋1.
当n＝0,1,2时，显然()n≥2n3＋1.
故a＝时，f(n)＋1(f(n)－1)≥n3＋1(n3)对所有自然数n都成立．
所以满足条件的a的最小值为.
(3)由(1)知f(k)＝ak， (n)f(k)－f(2k)(1)＝ (n)ak－a2k(1)，f(0)－f(1)(f(1)－f(n))＝1－a(a－an).
下面证明： (n)f(k)－f(2k)(1)>4(27)·f(0)－f(1)(f(1)－f(n)).
首先证明：当0<x<1时，x－x2(1)≥4(27)x.
设函数g(x)＝4(27)x(x2－x)＋1,0<x<1.
则g′(x)＝4(81)x(x－3(2))．
当0<x<3(2)时，g′(x)<0；当3(2)<x<1时，g′(x)>0.
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)＝g3(2)＝0.
所以，当0<x<1时，g(x)≥0，即得x－x2(1)≥4(27)x，由0<a<1知0<ak<1(k∈N*)，因此ak－a2k(1)≥4(27)ak，从而
(n)f(k)－f(2k)(1)＝ (n)ak－a2k(1)
≥4(27)a(n)k
＝4(27)·1－a(a－an＋1)
>4(27)·1－a(a－an)
＝4(27)·f(0)－f(1)(f(1)－f(n)).
2012模拟题
1．[2012·漳州联考] 若0<x<y<1，则下列不等式正确的是( )
A．3y<3x B．logx3<logy3
C．log4x<log4y D.4(1)x<4(1)y
1.C [解析] 函数y＝3x是R上的增函数，0<x<y<1，故3y>3x，A错误；
函数logx3＝log3x(1)，logy3＝log3y(1)，f(x)＝log3x(1)是(－∞，0)上的减函数，0<x<y<1，故log3x(1)>log3y(1)⇒logx3>logy3，B错误；
函数y＝log4x是(0，＋∞)上的增函数，0<x<y<1，故log4y>log4x，C正确；函数y＝4(1)x是R上的减函数，0<x<y<1，故4(1)x>4(1)y，D错误．
2．[2012·辽宁省部分重点中学联考] 设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈4(3)，fm(x)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
2.2(3)∪，＋∞(3) [解析] 依据题意得m2(x2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈4(3)上恒成立，
即m2(1)－4m2≤－x2(3)－x(2)＋1在4(3)上恒成立．
令g(x)＝－x2(3)－x(2)＋1，g(x)在4(3)上为减函数，
当x＝－4(3)时，函数g(x)＝－x2(3)－x(2)＋1取得最小值－3(5)，所以m2(1)－4m2≤－3(5)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－2(3)或m≥2(3)，
故实数m的取值范围为2(3)∪，＋∞(3).
3．[2012·浙江重点中学联考] 定义max{a，b}＝b，a<b，(a，a≥b，)设实数x，y满足约束条件|y|≤2，(|x|≤2，)z＝max{4x＋y,3x－y}，则z的取值范围是( )
A．[－7,10] B．[－6,8]
C．[－6,10] D．[－7,8]
3．A [解析] 本题主要考查函数的定义和线性规划基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．
z＝max{4x＋y,3x－y}＝3x－y，x＋2y<0，(4x＋y，x＋2y≥0，)所以由|y|≤2(|x|≤2，)得z＝4x＋y∈[－7,10]；由|y|≤2(|x|≤2，)得z＝3x－y∈(－7,8]，则z的取值范围是[－7,10]．
4．[2012·浙江重点中学联考] 设a＝，b＝p，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是________．
4．(1,3) [解析] 本题主要考查基本不等式的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．
因为a＝<c＝，所以只要
a＋c>b(a＋b>c，)⇒xy(xy>x＋y，)恒成立，即
>p(＋(x＋y))恒成立，解得p∈(1,3)．
5．[2012·郑州一中模拟] 已知不等式(x＋y)y(a)≥9对任意x、y为正实数恒成立，则正数a的最小值为________．
5．4 [解析] 展开后，利用基本不等式，而后解不等式可求a值．
∵(x＋y)y(a)＝1＋y(ax)＋x(y)＋a≥a＋1＋2(a>0)，∴要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2≥9，即(－2)(＋4)≥0，故≥2，即a≥4，∴正数a的最小值是4.
